⭕ Cercle, droite et vecteur normal : géométrie repérée
Un cercle, c'est l'ensemble des points qui sont tous à la même distance du centre : traduit en coordonnées, ça donne une équation ! Et une droite ? C'est l'ensemble des points M tels que AM est perpendiculaire à un vecteur n fixé. Avec le produit scalaire, la géométrie se transforme en calcul… et le calcul se voit.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le point M devient vert exactement quand ΩM² = r², c'est-à-dire quand ses coordonnées vérifient (x − xΩ)² + (y − yΩ)² = r².
- Avec « ✏️ Mon équation », la mise sous forme canonique fait apparaître le centre et le rayon. Si le nombre de droite est négatif, aucun point ne convient : une somme de carrés n'est jamais négative.
- Quand tu tournes le vecteur normal n, la droite tourne avec lui en restant perpendiculaire : ses coefficients a et b dans ax + by + c = 0 sont les coordonnées de n.
- La tangente en T est toujours perpendiculaire au rayon [ΩT] (petit carré d'angle droit) : ΩT est un vecteur normal de la tangente.
- En remplaçant y dans l'équation du cercle, on obtient une équation du second degré : son discriminant Δ dit combien de points communs ont le cercle et la droite.
Expériences à faire
- Tape x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0, puis change γ en 13 et en 20 : que devient l'ensemble des points ?
- Place A et n pour obtenir la droite 2x − y + 3 = 0. Trouve un autre vecteur normal qui donne la même droite.
- Avec la droite verticale x = 2 (« ✏️ Mon équation » avec a = 1, b = 0, c = −2), pourquoi n'y a-t-il pas d'équation réduite ?
- Sur le cercle de centre O et de rayon 5, place T en (3 ; 4), puis en (−4 ; 3) : écris l'équation de la tangente avant de regarder.
- Déplace la droite jusqu'à ce qu'elle ne touche le cercle qu'en un point : que valent Δ et la distance ΩH ?
Les maths derrière l'animation
- Le cercle de centre Ω(xΩ ; yΩ) et de rayon r a pour équation (x − xΩ)² + (y − yΩ)² = r². Une équation x² + y² + αx + βy + γ = 0 se transforme en complétant les carrés : x² − 4x = (x − 2)² − 4.
- Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que MA · MB = 0.
- La droite passant par A et de vecteur normal n(a ; b) est l'ensemble des points M tels que AM · n = 0 ; elle a une équation ax + by + c = 0 et u(−b ; a) en est un vecteur directeur.
- La tangente en T au cercle de centre Ω est la droite passant par T et de vecteur normal ΩT : (xT − xΩ)(x − xT) + (yT − yΩ)(y − yT) = 0.
- Pour l'intersection d'un cercle et d'une droite, on isole y (ou x) dans l'équation de la droite et on remplace : Δ > 0 donne deux points, Δ = 0 un seul (droite tangente), Δ < 0 aucun.
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