⭕ Le cercle de Mohr
Une même pièce, un même chargement… et pourtant les contraintes changent selon la facette qu'on regarde ! Le cercle de Mohr range toutes ces facettes sur un seul cercle. Règle les contraintes σxx, σyy et τxy, fais tourner le petit carré de matière et regarde son point courir deux fois plus vite que lui sur le cercle.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Quand l'élément tourne de θ, le point de sa facette tourne de 2θ sur le cercle de Mohr, dans le même sens : un quart de tour de l'élément fait un demi-tour sur le cercle. Les deux faces perpendiculaires sont donc toujours diamétralement opposées.
- Les deux points où le cercle coupe l'axe horizontal sont les contraintes principales σ1 et σ2 : sur ces facettes, le cisaillement est nul. Elles sont perpendiculaires (directions en pointillés sur l'élément).
- Le cisaillement maximal dans le plan vaut le rayon R du cercle ; il est atteint sur des facettes à 45° des directions principales.
- En contraintes planes, la troisième contrainte principale est σzz = 0 : coche « Tricercle » pour voir les deux autres cercles. Si σ1 et σ2 ont le même signe, le cisaillement maximal absolu est hors du plan : (σ1 − 0)/2 ou (0 − σ2)/2.
- En bas, le point (σ1, σ2) doit rester dans l'hexagone de Tresca ou dans l'ellipse de von Mises pour que la matière reste élastique. Tresca, plus prudent, est toujours à l'intérieur de von Mises.
Expériences à faire
- Mets τxy = 0 : que deviennent les points x et y sur le cercle ? Quelles sont alors les directions principales ?
- Règle σxx = σyy et τxy = 0 : pourquoi le cercle se réduit-il à un point ? Est-ce dangereux pour la matière ?
- Pour une traction simple σxx = 200 MPa, sur quelle facette le cisaillement est-il maximal ? Pourquoi les éprouvettes d'acier se rompent-elles souvent en biseau à 45° ?
- Compare Tresca et von Mises pour un cisaillement pur : lequel autorise le plus grand τ ? De combien ? Avec ✏️ Mon matériau, entre la limite élastique de ton propre matériau (titane, acier à ressort…) et cherche son cisaillement admissible.
- Avec l'acier S355, compare σxx = 300 MPa seul, puis σxx = σyy = 300 MPa, puis σxx = 300 MPa et σyy = −300 MPa : lequel de ces trois états fait plastifier la matière ? Pourquoi ?
Le cours derrière l'animation
- Facette de normale n = (cos θ, sin θ) : vecteur contrainte T = σ·n, contrainte normale σn = (σxx + σyy)/2 + (σxx − σyy)/2 · cos 2θ + τxy sin 2θ et contrainte tangentielle τ = −(σxx − σyy)/2 · sin 2θ + τxy cos 2θ (suivant t, n tourné de +90°).
- Cercle de Mohr : centre C = (σxx + σyy)/2, rayon R = √(((σxx − σyy)/2)² + τxy²). Contraintes principales σ1,2 = C ± R, direction principale tan 2θp = 2τxy/(σxx − σyy).
- Convention de tracé : on porte τ vers le haut quand il tend à faire tourner l'élément dans le sens horaire ; le point tourne alors de 2θ dans le même sens que l'élément.
- Critère de Tresca (cisaillement maximal), avec σ3 = σzz = 0 : σeq = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|) = 2τmax ≤ σe.
- Critère de von Mises (énergie de distorsion) : σeq = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²) = √(σxx² + σyy² − σxxσyy + 3τxy²) ≤ σe. Pour une traction σ et un cisaillement τ combinés : σeq = √(σ² + 3τ²).
D'autres animations
Le système bielle-manivelle
Fais tourner la manivelle d'un moteur et suis le piston : position, vitesse et accélération exactes, points morts et course.
Manipuler →Le mécanisme à quatre barres
Quadrilatère articulé à longueurs réglables : condition de Grashof, manivelle-balancier, courbes de bielle de Watt et d'essuie-glace.
Manipuler →La réponse fréquentielle et le diagramme de Bode
Envoie une sinusoïde dans un 1er ou un 2e ordre : gain, déphasage, vecteurs de Fresnel et point qui court sur le diagramme de Bode.
Manipuler →Et maintenant, on passe aux choses sérieuses ? 😉
ExpoSinus est un site d'éducation : les jeux et les articles sont là pour donner envie, les cours et les exercices pour progresser vraiment.