📏 L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la concentration
Tu ne connais rien d'une variable aléatoire, sauf son espérance et sa variance ? Bienaymé et Tchebychev te garantissent quand même qu'elle ne s'éloigne pas trop souvent de sa moyenne. Fais glisser la bande verte, compare la vraie probabilité à la borne… et découvre pourquoi cette inégalité, un peu pessimiste, suffit à démontrer la loi des grands nombres !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les bâtons rouges sont les valeurs xi qui s'écartent d'au moins δ de l'espérance μ : leur probabilité totale est P(|X − μ| ≥ δ). La jauge la compare à la borne V(X)/δ² : la barre rouge reste toujours sous la barre violette.
- Quand δ est petit, la borne dépasse 1 : elle est vraie, mais elle ne dit rien d'utile. Elle ne devient intéressante que lorsque δ dépasse l'écart-type σ.
- Le panneau « Pourquoi ça marche ? » range la variance en morceaux pi(xi − μ)². En ne gardant que les morceaux rouges, puis en remplaçant chaque (xi − μ)² par δ² (plus petit), on obtient δ² × P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X) : c'est toute la démonstration.
- En mode concentration, la loi exacte de la moyenne Mn d'un échantillon se resserre autour de μ quand n augmente : son écart-type vaut σ/√n.
- La courbe rouge (vraie probabilité de s'écarter) et la courbe violette (borne V(X)/(nδ²)) tendent toutes les deux vers 0 : c'est la loi des grands nombres. La borne reste au-dessus, souvent très largement.
Expériences à faire
- Avec le dé, à partir de quel écart δ la borne V(X)/δ² passe-t-elle sous 1 ? Compare ce δ à l'écart-type σ.
- Pour le ticket à gratter, que vaut la probabilité de s'écarter d'au moins 5 € du gain moyen ? La borne est-elle proche ?
- Avec « ✏️ Ma loi », tape les valeurs −1 ; 0 ; 1 avec les probabilités 0,1 ; 0,8 ; 0,1. Quel δ rend l'inégalité exacte ?
- En mode concentration avec la pièce et δ = 0,1, combien de lancers faut-il pour que l'inégalité garantisse un risque de 5 % ? Et pour un risque de 1 % ?
- Double n : la borne est-elle divisée par 2 ? Et la vraie probabilité ?
Les maths derrière l'animation
- Espérance et variance d'une variable X prenant les valeurs xi avec les probabilités pi : μ = E(X) = Σ pi xi et V(X) = Σ pi (xi − μ)², écart-type σ = √V(X).
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout réel δ > 0, P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/δ². Avec δ = kσ : P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k², par exemple au plus 25 % de chances de s'écarter de plus de 2σ.
- Échantillon : si X1, …, Xn sont indépendantes et de même loi que X, la moyenne Mn = (X1 + … + Xn)/n vérifie E(Mn) = μ et V(Mn) = V(X)/n.
- Inégalité de concentration : P(|Mn − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/(nδ²). Pour garantir un risque au plus α, il suffit de prendre n ≥ V(X)/(αδ²).
- Loi faible des grands nombres : pour tout δ > 0, P(|Mn − μ| ≥ δ) tend vers 0 quand n tend vers +∞.
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