🚁 L'asservissement et le correcteur PID
Un drone qui doit rester à 5 m du sol, c'est simple… jusqu'à ce que la gravité, l'inertie et le vent s'en mêlent. À toi de régler le correcteur PID : trop mou, le drone traîne sous sa consigne ; trop nerveux, il fait le yoyo ; bien réglé, il s'arrête pile au bon étage, même quand une rafale lui tombe dessus.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Avec l'action proportionnelle seule, le drone se stabilise sous sa consigne : pour produire la poussée qui compense son poids, le correcteur a besoin d'une erreur non nulle, ε = m·g/Kp.
- L'action intégrale accumule l'erreur au fil du temps : elle finit par fournir toute seule la poussée nécessaire, et l'erreur statique s'annule, même pendant une rafale de vent.
- L'action dérivée réagit à la vitesse du drone : elle freine la montée avant l'arrivée et réduit le dépassement, comme un amortisseur.
- Quand la commande est saturée (courbe rouge), les hélices ne peuvent pas pousser plus fort : sans anti-emballement, l'intégrale continue de grossir pour rien et le dépassement explose.
- Si Ki est trop grand devant Kp et Kd, la boucle devient instable : les oscillations grandissent jusqu'à ce que les saturations les limitent.
Expériences à faire
- Avec Ki = 0, double Kp : l'erreur statique est-elle divisée par 2 ? Et le dépassement, que devient-il ?
- Quel est l'effet de Kd sur le dépassement ? Et sur le temps de réponse quand il devient très grand ?
- Coche « ✏️ Mes valeurs » et emmène ton drone sur Mars (g = 3,71 m/s²) : avec Ki = 0, l'erreur statique est-elle plus petite que sur Terre ? Et avec un drone de 3 kg ?
- Règle Kp = 20, Ki = 10 et Kd = 6, puis fais décoller le drone avec et sans anti-emballement : que devient le dépassement ?
- Avec Kp = 8 N/m et Kd = 1 N·s/m, à partir de quelle valeur de Ki le critère de Routh annonce-t-il l'instabilité ? Vérifie-le.
Le cours derrière l'animation
- Principe fondamental de la dynamique appliqué au drone : m·z'' = F − m·g − c·z' (+ Fvent), avec au départ m = 1,2 kg, g = 9,81 m/s², c = 0,8 N·s/m et une poussée bornée 0 ≤ F ≤ 30 N (toutes réglables avec « ✏️ Mes valeurs »). Fonction de transfert de la poussée vers l'altitude : Z(p)/F(p) = 1/[p·(m·p + c)].
- Correcteur PID : F = Kp·ε + Ki·∫ε dt + Kd·dε/dt avec ε = zc − z. Ici l'action dérivée agit sur la mesure (−Kd·dz/dt) pour éviter un à-coup de commande à chaque échelon de consigne.
- En boucle fermée, l'équation caractéristique est m·p³ + (c + Kd)·p² + Kp·p + Ki = 0. Critère de Routh : la boucle est stable si et seulement si Kp > 0 et (c + Kd)·Kp > m·Ki.
- Performances mesurées sur un échelon : dépassement D = (zmax − z∞)/(z∞ − z0) ; temps de réponse à 5 % = instant à partir duquel la sortie reste à moins de 5 % de l'échelon autour de sa valeur finale ; erreur statique εs = zc − z∞.
- Le poids agit comme une perturbation constante placée en amont de l'intégrateur du système : sans action intégrale, εs = m·g/Kp ; avec elle, εs = 0. La saturation de la commande et l'anti-emballement (intégration conditionnelle) sont les non-linéarités de tout système réel.
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