🌳 Les arbres pondérés et les probabilités conditionnelles
Un arbre pondéré, c'est un plan de métro pour le hasard : chaque individu part de la racine et prend une branche à chaque carrefour. Règle les probabilités, lâche des billes et regarde-les se répartir au bout des chemins. Puis retourne l'arbre… et découvre pourquoi un test positif ne veut pas toujours dire « malade » !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Au bout de chaque chemin, la probabilité est le produit des probabilités des branches : par exemple P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
- Les deux chemins surlignés en vert mènent à B : leur somme donne P(B), c'est la formule des probabilités totales.
- Plus il y a d'individus, plus les fréquences observées (en vert sur les branches et dans les barres) se rapprochent des probabilités : c'est la loi des grands nombres.
- L'arbre retourné commence par B. Le chemin violet B ∩ A est le même événement que A ∩ B : il a la même probabilité, ce qui donne PB(A) = P(A ∩ B) / P(B).
- Dans le test de dépistage, les malades sont si rares que les faux positifs (des gens sains) sont bien plus nombreux que les vrais positifs : un test positif ne donne alors qu'environ 17 % de risque d'être malade.
Expériences à faire
- Avec P(A) = 0,3, PA(B) = 0,9 et PĀ(B) = 0,2, calcule P(B) à la main, puis vérifie avec la formule du bas.
- Coche « indépendants » : que valent alors P(B) et PB(A) ? Compare-les à PA(B) et P(A).
- Dans le test de dépistage, fais passer la maladie de 1 % à 20 % de la population : que devient PT(M) ? Pourquoi ?
- Le vase est cassé : le chat est-il vraiment coupable ? Et si le chat n'est presque jamais à la maison (P(C) = 0,05) ? Invente ensuite ta propre histoire avec « ✏️ Ma situation ».
- Pourquoi PA(B) et PB(A) ne sont-ils presque jamais égaux ? Dans quel cas le sont-ils ?
Les maths derrière l'animation
- Probabilité conditionnelle : si P(A) ≠ 0, PA(B) = P(A ∩ B) / P(A), donc P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) : on multiplie les probabilités le long d'un chemin.
- Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1 : PA(B) + PA(B̄) = 1.
- Formule des probabilités totales (A et Ā forment une partition) : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) = P(A) × PA(B) + P(Ā) × PĀ(B).
- Formule de Bayes : si P(B) ≠ 0, PB(A) = P(A) × PA(B) / P(B). On « retourne » l'arbre en calculant d'abord P(B).
- A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ; lorsque 0 < P(A) < 1, cela revient à PA(B) = PĀ(B) = P(B).
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