🪜 Approximation affine et méthode d'Euler
Une courbe, vue de très très près, ressemble à… une droite : sa tangente ! C'est l'idée géniale de l'approximation affine. Et si on ne connaît que la pente f′ ? On avance à petits pas sur des bouts de tangentes, comme un randonneur qui suit sa boussole : la courbe se dessine toute seule. Monsieur Euler, 1768.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le point B est sur la courbe (valeur exacte f(a + h)), le point P est sur la tangente (valeur approchée f(a) + h × f′(a)) : le segment rouge entre les deux est l'erreur ε(h).
- Quand h devient petit, l'erreur ε(h) rétrécit beaucoup plus vite que h : dans le tableau, divise h par 10 et l'erreur est divisée par 100 environ.
- Avec le zoom × 1 000 autour de A, la courbe et la tangente deviennent impossibles à distinguer : près de A, f se comporte comme une fonction affine.
- En mode Euler, le marcheur suit la tangente sur une longueur h, pose un point, prend la nouvelle pente et recommence : la ligne brisée orange suit la vraie courbe en pointillés.
- Avec f′ = k × f, chaque pas multiplie y par 1 + kh : les points d'Euler forment une suite géométrique, et la courbe obtenue est l'exponentielle.
Expériences à faire
- Calcule de tête une valeur approchée de √4,1 avec a = 4 et h = 0,1, puis vérifie avec l'animation. Et √3,9 ?
- Avec f(x) = sin x et a = 0, que vaut l'approximation de sin(0,1) ? Pourquoi dit-on que sin h ≈ h pour h petit ?
- Place A là où la courbe est très courbée, puis là où elle est presque droite : où l'approximation est-elle la meilleure ?
- En mode Euler avec f′ = f et f(0) = 1, essaie h = 0,5 ; 0,1 ; 0,01 : comment évolue l'écart avec e ≈ 2,718 en x = 1 ?
- Tape ta propre dérivée, par exemple y(2 − y) : quelle forme a la courbe ? Change le point de départ y₀.
Les maths derrière l'animation
- Si f est dérivable en a, sa tangente en A(a ; f(a)) a pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a).
- Approximation affine : pour h proche de 0, f(a + h) ≈ f(a) + h × f′(a). Exemples : √(4 + h) ≈ 2 + h/4 ; (1 + h)² ≈ 1 + 2h ; eh ≈ 1 + h ; sin h ≈ h.
- L'erreur ε(h) = f(a + h) − [f(a) + h f′(a)] vérifie ε(h)/h → 0 quand h → 0 : c'est la définition même du nombre dérivé (taux d'accroissement qui tend vers f′(a)).
- Méthode d'Euler : on part de M0(x0 ; y0) et on répète xn+1 = xn + h et yn+1 = yn + h × f′(xn). Plus h est petit, meilleure est l'approximation.
- Pour f′ = f et f(0) = 1 : yn+1 = (1 + h) yn, donc yn = (1 + h)n. Avec h = 1/n, on obtient (1 + 1/n)n qui tend vers e ≈ 2,718 : c'est ainsi que l'on construit la fonction exponentielle.
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