⚖️ L'analyse dimensionnelle : la formule est-elle homogène ?
Tu as un doute sur une formule au milieu d'un contrôle ? Pas de panique : pèse-la ! Chaque grandeur est remplacée par son unité, les briques kg, m et s tombent dans les plateaux, et si la balance penche, la formule est forcément fausse. Bonus : un petit train pour ne plus jamais rater une conversion.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Pour T = 2π √(L / g), le membre de droite donne √(m / (m·s⁻²)) = √(s²) = s : les mêmes briques des deux côtés, la balance reste droite, la formule est homogène.
- Dans les versions fausses (T = 2π √(g / L), Ec = ½ m v…), il manque une brique ou un exposant n'est pas le bon : la balance penche et les briques en trop clignotent en rouge.
- Les nombres 2, ½ ou π n'apportent aucune brique : une formule homogène peut donc encore être fausse d'un facteur sans unité.
- Dans une somme, chaque terme doit avoir la même unité : x = v t + ½ a t est rejetée, car on ajouterait des mètres et des mètres par seconde.
- Dans le train de conversion, chaque wagon orange vaut exactement 1 (10³ m = 1 km) : les unités barrées se simplifient comme des nombres.
Expériences à faire
- En mode enquête, sauras-tu donner le bon verdict pour 5 formules d'affilée sans regarder la balance ?
- Quelle combinaison de m (en kg) et de k (en N/m) donne des secondes ? Écris la formule de la période d'un ressort et pèse-la.
- Avec g et h, comment obtenir une vitesse ? Vérifie ta formule avec la balance.
- Combien font 90 km/h en m/s ? Et 1 kWh en joules ? Calcule avant de vérifier.
- Ajoute dans « ✏️ Mes grandeurs » la conductivité thermique λ = W/(m·K) et vérifie la loi Φ = λ S Δθ / e.
La physique derrière l'animation
- Une formule est homogène quand ses deux membres, et chaque terme d'une somme, ont la même unité (la même dimension). Une formule non homogène est forcément fausse ; une formule homogène peut encore se tromper d'un facteur sans unité (2, ½, π…).
- Les sept unités de base du Système international : kilogramme (kg), mètre (m), seconde (s), ampère (A), kelvin (K), mole (mol) et candela (cd). Toutes les autres s'en déduisent.
- Unités dérivées : 1 N = 1 kg·m·s−2 (F = m a) ; 1 J = 1 N·m = 1 kg·m2·s−2 (Ec = ½ m v²) ; 1 W = 1 J·s−1 ; 1 Pa = 1 N·m−2 ; 1 V = 1 W·A−1 ; 1 Ω = 1 V·A−1.
- Exemple : pour T = 2π √(L / g), [L] / [g] = m / (m·s−2) = s2, donc √(L / g) s'exprime en secondes, comme T. Les fonctions sin, cos, exp et ln ne s'appliquent qu'à des nombres sans unité.
- Conversions : on multiplie par des fractions égales à 1 : 90 km/h × (103 m / 1 km) × (1 h / 3 600 s). Préfixes : k = 103, M = 106, c = 10−2, m = 10−3, µ = 10−6 ; 1 h = 3 600 s ; 1 L = 10−3 m3 ; 1 kWh = 3,6 × 106 J.
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