🥪 L'aire entre deux courbes
Deux courbes, c'est comme deux tranches de pain : l'aire entre elles, c'est la garniture du sandwich ! Pour la mesurer, on découpe en fines tranches verticales de hauteur f(x) − g(x)… puis on les fait toutes glisser jusqu'à l'axe, comme on range des livres sur une étagère. L'aire ne bouge pas, et pourtant le calcul devient tout simple.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Entre a et b, la surface est verte là où la courbe de f est au-dessus de celle de g, et rouge là où elle est en dessous. Les points violets sont les points d'intersection : les solutions de f(x) = g(x).
- La petite tranche foncée qui balaie la surface a pour hauteur f(x) − g(x) : l'intégrale additionne toutes ces tranches de largeur dx.
- Avec « ⬇️ Tout glisser sur l'axe », chaque tranche descend de g(x) : la courbe de g devient l'axe des abscisses et celle de f devient la courbe de f − g. La surface change de forme mais pas d'aire, d'où 𝒜 = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx.
- Avec x³ et x entre −1 et 1, ∫(f − g) vaut 0 alors que la surface est bien visible : la partie rouge compte négativement et annule la verte. Il faut couper aux points d'intersection et additionner les aires.
- Avec eˣ et x + 1, les courbes se touchent en 0 sans se croiser : x + 1 est la tangente à la courbe de eˣ en 0, et eˣ reste au-dessus.
Expériences à faire
- Avec x et x², clique sur « 📍 Bornes aux intersections » : retrouves-tu 1/6 en calculant [x²/2 − x³/3] entre 0 et 1 ?
- Avec 4 − x² et x + 2, résous d'abord f(x) = g(x) à la main, puis vérifie que l'aire entre les deux intersections vaut 4,5.
- Avec x³ et x, cherche des bornes pour lesquelles ∫(f − g) = 0 : l'aire est-elle nulle pour autant ?
- Avec sin x et cos x, déplace les bornes d'une intersection à la suivante : l'aire du fuseau change-t-elle ? Pourquoi ?
- Tape tes fonctions (✏️), par exemple 2x et x² : calcule l'aire à la main et compare avec l'animation.
Les maths derrière l'animation
- Si f et g sont continues sur [a ; b] avec f(x) ≥ g(x) pour tout x de [a ; b], l'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites x = a et x = b vaut 𝒜 = ∫ab (f(x) − g(x)) dx, en unités d'aire (u.a.).
- Par linéarité, ∫ab (f(x) − g(x)) dx = ∫ab f(x) dx − ∫ab g(x) dx : la formule reste vraie même si les courbes passent sous l'axe des abscisses.
- Méthode : 1) résoudre f(x) = g(x) pour trouver les points d'intersection ; 2) étudier le signe de f(x) − g(x) ; 3) calculer ∫(f − g) sur chaque intervalle où le signe est constant ; 4) additionner les valeurs absolues.
- Exemple : f(x) = x et g(x) = x² se coupent en 0 et 1, et x ≥ x² sur [0 ; 1], donc 𝒜 = ∫01 (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]01 = 1/2 − 1/3 = 1/6 u.a.
- L'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle construit sur les vecteurs unités du repère. Si une unité vaut 2 cm sur chaque axe, 1 u.a. = 4 cm².
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