🛰️ La vitesse de satellisation : v = √(GM/(R+h))
L'ISS tourne autour de la Terre à 28 000 km/h. Pas 27 000, pas 30 000 : pile la bonne vitesse, sinon elle s'éloignerait ou retomberait. Qui décide de cette vitesse ? La gravitation ! Mets un satellite où tu veux, autour de la Terre, de Jupiter, du Soleil… ou d'une petite lune de Mars, où tu pourrais te satelliser en courant.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Sur une orbite circulaire, le vecteur vitesse v est tangent au cercle et garde la même longueur ; l'accélération a est toujours dirigée vers le centre de l'astre : le mouvement est circulaire et uniforme.
- La balance compare deux accélérations : celle qu'il FAUT pour tourner en rond (v²/r) et celle que la gravitation DONNE (G·M/r²). L'orbite est circulaire seulement quand elles sont égales : c'est ce qui impose v = √(G·M/(R + h)).
- Plus le satellite est haut, plus il est lent : 7,66 km/s pour l'ISS à 420 km, 3,07 km/s pour un satellite géostationnaire à 35 786 km, 1 km/s pour la Lune.
- Si on lui donne un peu trop de vitesse, il part sur une ellipse qui s'éloigne ; pas assez, sur une ellipse qui se rapproche… et qui peut couper le sol. À partir de √2 fois la vitesse de satellisation, il s'échappe pour toujours.
- La vitesse de satellisation dépend de l'astre : 437 km/s au ras du Soleil, 1,7 km/s pour la Lune, et seulement 4 m/s pour Déimos, la petite lune de Mars.
Expériences à faire
- À quelle altitude faut-il placer un satellite pour qu'il aille à 7,66 km/s, comme l'ISS ? Et combien de temps dure un tour ?
- Cherche l'altitude où un tour dure 23 h 56 min : pourquoi ce satellite semble-t-il immobile dans le ciel ?
- Double l'altitude d'un satellite en orbite basse : sa vitesse est-elle divisée par 2 ?
- Décoche « pile la vitesse de satellisation » et donne 0,8 puis 1,2 fois la bonne vitesse : que devient la trajectoire ?
- Pourquoi la base de Kourou (5° de latitude) est-elle mieux placée que Baïkonour (46°) pour lancer des fusées vers l'est ?
La physique derrière l'animation
- On étudie le satellite dans le référentiel centré sur l'astre (géocentrique pour la Terre), supposé galiléen. Il ne subit que la force de gravitation F = (G·M·m / r²)·un, dirigée vers le centre, avec r = R + h.
- 2e loi de Newton : a = (G·M / r²)·un. Dans le repère de Frenet, a = (dv/dt)·ut + (v²/r)·un. Par identification, dv/dt = 0 (mouvement uniforme) et v²/r = G·M/r².
- Vitesse de satellisation : v = √(G·M / (R + h)) ; période : T = 2π(R + h) / v, d'où la 3e loi de Kepler T²/r³ = 4π²/(G·M). Elle ne dépend pas de la masse m du satellite.
- Satellite géostationnaire : orbite circulaire dans le plan de l'équateur, de période égale à la durée de rotation de la Terre (23 h 56 min 4 s) : h ≈ 35 786 km, v ≈ 3,07 km/s.
- Vitesse de libération : vlib = √(2·G·M/r) = √2 × v. Au lancement, la rotation de l'astre offre vrot = 2πR·cos λ / Tjour (463 m/s à Kourou) à une fusée lancée vers l'est. Modèle : astre sphérique, pas d'atmosphère.
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