🌌 Le potentiel effectif et les trajectoires
Une planète qui tourne autour du Soleil, c'est un mouvement à deux dimensions… qu'on peut ramener à une bille qui roule dans un creux à une seule dimension ! Fais glisser l'énergie mécanique dans le puits du potentiel effectif, et regarde la trajectoire se transformer : cercle parfait, ellipse allongée, ou comète qui ne reviendra jamais.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La bille bleue sur la courbe représente la distance r de la planète au Soleil : elle oscille entre rmin et rmax, exactement comme la planète passe du périhélie à l'aphélie.
- Les points où la droite Em coupe la courbe donnent rmin et rmax : ce sont les cercles en pointillés autour du Soleil, que l'ellipse touche sans jamais les franchir.
- Le terme L²/(2mr²), toujours positif, est une « barrière centrifuge » : il empêche la planète de tomber sur le Soleil tant que son moment cinétique n'est pas nul.
- Si Em < 0, la planète est piégée dans le puits : état lié, l'orbite est une ellipse (un cercle au fond du puits). Si Em ≥ 0, plus rien ne la retient : état de diffusion, parabole ou hyperbole.
- Le produit r × vθ reste constant tout au long du mouvement : c'est la conservation du moment cinétique. Près du Soleil, la vitesse orthoradiale augmente.
Expériences à faire
- Place Em tout au fond du puits : que vaut la vitesse radiale ? Quelle trajectoire obtiens-tu ?
- Diminue le moment cinétique C sans toucher à Em : rmin augmente-t-il ou diminue-t-il ? Pourquoi la comète frôle-t-elle davantage le Soleil ?
- Remonte Em jusqu'à 0 : que devient rmax ?
- Pour une ellipse, compare (rmin + rmax)/2 et le demi-grand axe a = −GMm/(2Em) : que constates-tu ?
- Règle C = 67,8 UA·km/s et Em = −85,3 MJ/kg (clique sur les valeurs pour les taper) : quelle planète reconnais-tu à sa période ? Puis coche « ✏️ Mes valeurs » et double la masse de l'étoile : que devient la période ?
La physique derrière l'animation
- Force centrale conservative F = − GMm r/r³ : le moment cinétique L = m r ∧ v se conserve, le mouvement est plan et L = m r² θ̇ = m r vθ (loi des aires).
- Énergie mécanique : Em = ½ m ṙ² + ½ m r² θ̇² − GMm/r = ½ m ṙ² + Ep,eff(r), avec Ep,eff(r) = − GMm/r + L²/(2 m r²). Le mouvement radial est celui d'un point dans un potentiel à une dimension.
- Comme ½ m ṙ² ≥ 0, le mouvement est limité aux r tels que Ep,eff(r) ≤ Em. Le minimum, en r0 = L²/(GMm²), correspond à l'orbite circulaire, d'énergie Em = − GMm/(2 r0).
- Trajectoire : conique r = p / (1 + e cos θ) avec p = L²/(G M m²) et e = √(1 + 2 Em L² / (G² M² m³)). Cercle (e = 0), ellipse (0 < e < 1, Em < 0), parabole (e = 1, Em = 0), hyperbole (e > 1, Em > 0).
- Pour une ellipse : rmin = a(1 − e), rmax = a(1 + e) et Em = − GMm/(2a). Ici les énergies sont données par kilogramme (1 MJ/kg = 1 (km/s)²), GM☉ = 1,327 × 1020 m³/s², et la trajectoire est calculée pas à pas par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4.
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