🪐 Les lois de Kepler
Kepler a passé des années à éplucher les mesures de Tycho Brahe pour découvrir que les planètes ne tournent pas en rond, mais sur des ellipses. Toi, tu as quatre curseurs. Lance une planète, colorie les aires qu'elle balaie, chronomètre ses tours… et retrouve ses trois lois en quelques minutes, sans une seule tache d'encre.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La trajectoire est une ellipse dont l'étoile occupe un foyer F, et non le centre : c'est la 1re loi de Kepler. L'autre foyer F′ est vide.
- La planète accélère en s'approchant de l'étoile et ralentit en s'éloignant : la force, toujours dirigée vers l'étoile, la tire tantôt un peu vers l'avant, tantôt un peu vers l'arrière.
- Les secteurs coloriés sont balayés pendant des durées égales (T/12) : longs et fins près de l'étoile, courts et larges loin d'elle, mais tous de même aire (2e loi).
- Le rapport T²/a³ mesuré ne dépend que de la masse de l'étoile : change la vitesse ou la distance de départ, il ne bouge pas (3e loi).
- Une orbite d'excentricité 0,3 ressemble encore beaucoup à un cercle : c'est pour cela qu'il a fallu des mesures très précises pour voir que les orbites sont des ellipses.
Expériences à faire
- Quelle vitesse de départ donne une orbite circulaire à 1 UA ? Compare-la à la vitesse de la Terre (29,8 km/s).
- Double la masse de l'étoile sans toucher au reste : la période augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
- Multiplie la vitesse circulaire par √2 (environ 1,41) : que devient l'orbite ?
- Trouve une orbite deux fois plus grande (a doublé) : combien de fois plus longue est sa période ?
- Place Neptune : r0 = 30 UA et v0 = 5,4 km/s. Sa période vérifie-t-elle T² = a³ (en années et en UA) ? Lance-la ensuite en biais, avec un angle de 45°.
La physique derrière l'animation
- Gravitation de Newton : F = G × M × m / r², force dirigée vers l'étoile (supposée immobile, car bien plus massive que la planète). La 2e loi de Newton donne une accélération G × M / r², indépendante de la masse m de la planète ; l'animation calcule le mouvement pas à pas (méthode de Runge-Kutta d'ordre 4).
- 1re loi : l'orbite est une ellipse de demi-grand axe a et d'excentricité e, l'étoile étant à un foyer. Distances extrêmes à l'étoile : rmin = a(1 − e) et rmax = a(1 + e).
- 2e loi (loi des aires) : le segment étoile-planète balaie des aires égales pendant des durées égales, car le moment cinétique se conserve : r × v × sin θ = constante.
- 3e loi : T² / a³ = 4π² / (G × M). Pour le Soleil, T²/a³ = 1 an²/UA³ = 2,97 × 10−19 s²/m³ (1 UA = 1,496 × 1011 m).
- Vitesse circulaire : v = √(G M / r). Vitesse de libération : vlib = √(2 G M / r) = √2 × v. Au-delà, l'énergie mécanique est positive et la trajectoire devient une hyperbole.
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