🪐 La 3e loi de Kepler avec les vraies planètes
Comment pèse-t-on le Soleil sans balance assez grande ? Avec une règle et une horloge ! Kepler a remarqué que, pour toutes les planètes, T² divisé par a³ donne le même nombre. Newton a expliqué pourquoi… et ce nombre contient la masse de l'astre central. Prends les vraies mesures, trace la droite, et pèse le Soleil, Jupiter, la Terre ou une étoile située à 40 années-lumière.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les planètes proches du Soleil tournent beaucoup plus vite que les lointaines : Mercure boucle son tour en 88 jours, Neptune en 165 ans.
- Sur le graphe T² en fonction de a³, tous les points d'un même système sont alignés sur une droite qui passe par l'origine : T² est proportionnel à a³. Le tableau montre que T²/a³ est le même à moins de 1 % près.
- La pente k de la droite donne la masse de l'astre central : M = 4π²/(G·k). On retrouve 2,0 × 10³⁰ kg pour le Soleil, 1,9 × 10²⁷ kg pour Jupiter et 6,0 × 10²⁴ kg pour la Terre.
- En traçant ln T en fonction de ln a, on obtient une droite de pente 3/2 : la régression linéaire sur les vraies données donne 1,500.
- En mélangeant les systèmes, on voit 5 droites parallèles : plus l'astre central est lourd, plus sa droite est basse, car ses satellites tournent plus vite à distance égale.
Expériences à faire
- Zoome sur les planètes rocheuses : les points restent-ils alignés sur la même droite que Jupiter et Neptune ?
- Pourquoi la Lune donne-t-elle une masse de la Terre un peu trop grande (environ 1 %) ?
- Une planète met 100 ans à faire le tour du Soleil : à quelle distance est-elle ? Vérifie avec la planète mystère.
- Avec « ✏️ Mes valeurs », entre les périodes et les rayons de Phobos et Déimos : combien pèse Mars ?
- En ln-ln, quelle est la droite la plus basse : celle des lunes de Jupiter ou celle des satellites de la Terre ? Pourquoi ?
La physique derrière l'animation
- 3e loi de Kepler : pour tous les objets en orbite autour d'un même astre, T²/a³ = k est constant (a : rayon de l'orbite circulaire ou demi-grand axe de l'ellipse, T : période de révolution).
- Démonstration pour une orbite circulaire : la 2e loi de Newton donne G·M·m/a² = m·v²/a, et la vitesse vaut v = 2πa/T. On en déduit T²/a³ = 4π²/(G·M) : k ne dépend que de la masse M de l'astre central.
- Masse de l'astre central : M = 4π²/(G·k) avec G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², a en mètres et T en secondes (k en s²·m⁻³).
- Graphiquement : T² = k·a³ est une fonction linéaire de a³ (droite passant par l'origine, de pente k) ; en logarithmes, ln T = (3/2)·ln a + ½·ln k est une droite de pente 3/2.
- Si la masse m du satellite n'est pas négligeable, la loi exacte est T²/a³ = 4π²/(G·(M + m)) : c'est pour cela que la Lune (m ≈ 1,2 % de la masse de la Terre) s'écarte un peu de la droite.
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