🫧 Le théorème de Gauss
Une bulle magique autour des charges : quelle que soit sa forme, quelle que soit sa taille, le flux du champ électrique qui la traverse ne dépend que de ce qu'elle contient. Déforme-la, décentre-la, fais-la passer à côté de la charge… et regarde l'ordinateur calculer le flux point par point. Puis apprends à choisir LA surface qui donne le champ sans aucun calcul.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le flux Φ est calculé numériquement : la surface est découpée en milliers de petits morceaux et on additionne E·dS sur chacun. Le résultat coïncide avec Qint/ε0 à mieux que 0,01 % près.
- Quand la charge ponctuelle est dehors, des vecteurs E entrent (en violet) et d'autres sortent (en orange) : les deux contributions se compensent exactement, le flux total est nul.
- Sur une sphère concentrique, un cylindre coaxial au fil ou une boîte à cheval sur le plan, E a la même valeur partout où il traverse la surface et il est tangent ailleurs (en gris) : le flux s'écrit alors E × S et donne E directement (point bleu sur le graphe).
- À l'intérieur de la sphère chargée en surface, aucune charge n'est enfermée : le champ y est nul. Dans la boule chargée en volume, au contraire, E croît proportionnellement à r.
- Le dessin est une coupe par un plan de symétrie, mais le calcul est fait en trois dimensions sur toute la surface.
Expériences à faire
- Garde la charge ponctuelle à l'intérieur et déplace la sphère de Gauss, agrandis-la, change-la en boîte : le flux bouge-t-il ?
- Double le rayon de la sphère concentrique autour de la charge ponctuelle : que deviennent l'aire de la surface, le champ E sur la surface et le flux ?
- Pour le fil infini, essaie une sphère centrée sur le fil : le flux vaut-il encore Qint/ε0 ? Peux-tu en déduire E ?
- Avec le plan infini, éloigne le couvercle de la boîte du plan : pourquoi le champ ne diminue-t-il pas ?
- Avec la boule chargée en volume, change son rayon R (de 1 à 8 cm) : où le champ E(r) est-il maximal, et que vaut-il au centre ?
La physique derrière l'animation
- Théorème de Gauss : pour toute surface fermée S, le flux sortant du champ électrostatique vaut ∯ E·dS = Qint/ε0, avec ε0 = 8,854 × 10−12 F/m.
- Méthode : étudier les symétries et les invariances de la distribution pour connaître la direction de E et les variables dont il dépend, puis choisir une surface de Gauss sur laquelle E est constant ou tangent.
- Charge ponctuelle ou distribution à symétrie sphérique (sphère de rayon r) : E(r) = Qint/(4πε0r²). Boule de rayon R chargée en volume : E = Qr/(4πε0R³) pour r < R ; sphère chargée en surface : E = 0 à l'intérieur.
- Fil infini de charge linéique λ (cylindre coaxial de rayon r et de hauteur h) : E × 2πrh = λh/ε0, donc E = λ/(2πε0r).
- Plan infini de charge surfacique σ (cylindre ou boîte à cheval sur le plan) : 2ES = σS/ε0, donc E = σ/(2ε0), indépendant de la distance au plan.
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