📊 Le spectre d'un signal (transformée de Fourier)
Un analyseur de spectre, c'est une oreille mathématique : il écoute un signal pendant une durée T puis annonce les fréquences qu'il contient. Mais il a ses caprices : trop pressé, il confond deux notes voisines ; trop brutal, il invente des pics fantômes. Apprivoise-le, puis démasque l'accord mystère !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Pendant l'acquisition, le signal s'inscrit de gauche à droite ; dès que la durée T est écoulée, le spectre est recalculé par FFT (transformée de Fourier rapide).
- Chaque sinusoïde donne un pic de largeur environ 1/T : avec T = 0,1 s, deux fréquences distantes de 2 Hz se fondent en un seul pic ; avec T = 1 s, elles se séparent.
- En fenêtre rectangulaire, chaque pic est entouré de lobes secondaires (bien visibles en décibels) ; la fenêtre de Hann les écrase, au prix de pics un peu plus larges.
- Une impulsion de durée τ a un spectre continu en « sinus cardinal », dont le premier zéro est à f = 1/τ : plus l'impulsion est brève, plus son spectre est large.
- Le carré ne contient que des harmoniques impairs (f₀, 3f₀, 5f₀…) ; le signal modulé donne trois raies ; une raie noyée dans le bruit émerge quand on allonge T.
Expériences à faire
- Avec deux sinusoïdes à 2 Hz d'écart, quelle durée T minimale faut-il en fenêtre rectangulaire ? Et avec la fenêtre de Hann ?
- Passe en décibels avec une seule fréquence bien isolée : à quel niveau sont les premiers lobes secondaires avec chaque fenêtre ?
- Divise par deux la durée τ de l'impulsion : où se déplace le premier zéro du spectre ?
- Pour la sinusoïde dans le bruit, multiplie T par 4 : de combien le niveau du bruit baisse-t-il par rapport au pic ?
- Dans l'accord mystère, pourquoi voit-on de petits pics au double des fréquences des notes ? Choisis ensuite « ✏️ Mon signal », tape signe(sin(2π×40t)) et baisse fe à 500 Hz : d'où sortent les raies en trop ?
La physique derrière l'animation
- Transformée de Fourier : S(f) = ∫ s(t)·e−2iπft dt décompose un signal en sinusoïdes. Sur ordinateur, on calcule la transformée de Fourier discrète de N = fe·T échantillons, par l'algorithme de FFT (N·log₂N opérations).
- Résolution spectrale : Δf ≈ 1/T. Observer pendant T revient à multiplier le signal par une fenêtre de durée T, ce qui élargit chaque raie d'environ 1/T (lobe principal de largeur 2/T en fenêtre rectangulaire, 4/T avec Hann).
- Fenêtrage : la fenêtre rectangulaire donne des lobes secondaires à −13 dB (fuite spectrale) ; la fenêtre de Hann w(t) = ½[1 − cos(2πt/T)] les abaisse à −31 dB.
- Impulsion rectangulaire de durée τ : |S(f)| = τ·|sin(πfτ)/(πfτ)|, premier zéro en f = 1/τ. Durée × largeur de bande ≈ 1 : c'est la relation temps-fréquence.
- Pour respecter le critère de Shannon, fe (4 000 Hz au départ, réglable) doit dépasser le double de la plus haute fréquence du signal ; sinon, les raies trop hautes se replient sous fe/2 (repliement de spectre). Amplitude affichée : 2|X(f)|/Σw, pour qu'une sinusoïde d'amplitude A donne un pic de hauteur A.
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