📦 La particule dans une boîte (puits infini)
Enferme un électron dans une boîte d'un nanomètre et il devient très bizarre : il refuse les énergies « entre deux », il n'est jamais complètement au repos, et il peut se trouver dans deux états à la fois. Serre ou élargis la boîte, fais-le sauter d'un niveau à l'autre, et regarde la couleur de la lumière qu'il émet changer avec la taille de sa prison.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les énergies permises sont quantifiées : En est proportionnelle à n². Serre la boîte : tous les niveaux montent comme 1/L² et s'écartent les uns des autres.
- La fonction d'onde ψn s'annule sur les parois et possède n − 1 nœuds à l'intérieur. Le nuage de points montre où l'on trouverait l'électron si l'on mesurait sa position dans beaucoup de boîtes identiques : il suit la densité |ψn|².
- Dans un état stationnaire, |ψ|² ne bouge pas. Dans une superposition de deux niveaux, la densité se balance d'une paroi à l'autre à la fréquence |En′ − En|/h. La position moyenne ⟨x⟩ n'oscille que si n − n′ est impair : c'est ce dipôle oscillant qui rayonne le photon.
- Lors d'une transition vers un niveau plus bas, l'électron émet un photon d'énergie ΔE : de l'infrarouge pour une grande boîte, du visible puis de l'ultraviolet quand la boîte rétrécit.
- Dans un puits fini, les niveaux sont plus bas et en nombre limité, et la fonction d'onde pénètre dans les barrières, là où une particule classique n'aurait pas assez d'énergie pour aller.
Expériences à faire
- Double la largeur de la boîte : par combien les énergies sont-elles divisées ?
- Avec L = 1 nm, quelle transition permise donne la plus courte longueur d'onde parmi les niveaux 1 à 6 ?
- Superpose les niveaux 1 et 3 : pourquoi ⟨x⟩ reste-t-il au centre ? Compare avec la superposition des niveaux 1 et 2.
- Quelle largeur faut-il pour que la transition 2 → 1 donne de la lumière verte ? Recommence avec un électron de l'arséniure de gallium (m* = 0,067 mₑ), puis enferme un proton avec « ✏️ Ma particule » : que deviennent les niveaux ?
- Puits fini : diminue V0 jusqu'à ne garder qu'un seul état lié. Arrives-tu à le faire disparaître lui aussi ?
La physique derrière l'animation
- Dans la boîte (V = 0), l'équation de Schrödinger stationnaire s'écrit −(ħ²/2m) ψ″ = E ψ, avec ψ(0) = ψ(L) = 0. Solutions : ψn(x) = √(2/L) sin(nπx/L) et En = n²h²/(8mL²), soit En ≈ 0,376 n²/L² eV pour un électron (L en nm).
- L'énergie minimale E1 = h²/(8mL²) n'est jamais nulle : n = 0 donnerait ψ = 0 partout, c'est-à-dire aucune particule. C'est cohérent avec l'inégalité de Heisenberg : Δx ≤ L impose Δp ≥ ħ/(2L), donc une énergie cinétique non nulle.
- Superposition : Ψ(x, t) = [ψn e−iEnt/ħ + ψn′ e−iEn′t/ħ]/√2. La densité |Ψ|² contient un terme en cos(ΔE·t/ħ) : elle oscille à la fréquence de Bohr ν = |ΔE|/h (quelques 1014 Hz, d'où le ralenti énorme). Règle de sélection dipolaire : n − n′ impair.
- Photon émis : λ = hc/|ΔE| ≈ 1 240/|ΔE (eV)| nm. Les colorants à longue chaîne et les boîtes quantiques des écrans « QLED » suivent la même loi : plus la boîte est petite, plus la lumière est bleue. Les vraies boîtes quantiques de semi-conducteur mesurent quelques nanomètres, car l'électron y a une masse effective plus faible (essaie le choix « arséniure de gallium ») et le gap s'ajoute à ΔE. Avec « ✏️ Ma particule », En = n²h²/(8mL²) pour n'importe quelle masse m : un proton a des niveaux 1 836 fois plus serrés qu'un électron.
- Puits fini de profondeur V0 : ψ = A cos(kx) ou A sin(kx) dans le puits, ψ ∝ e−κ|x| dans les barrières, avec k = √(2mE)/ħ et κ = √(2m(V0 − E))/ħ. La continuité de ψ et de ψ′ donne k tan(kL/2) = κ (états pairs) ou −k/tan(kL/2) = κ (états impairs), résolues ici numériquement. Il existe toujours au moins un état lié.
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