🌊 Paquet d'ondes : vitesses de phase et de groupe
Dans un paquet d'ondes, les crêtes et la bosse ne vont pas forcément à la même vitesse ! Sur la mer, les vagues naissent à l'arrière du groupe, le traversent et meurent à l'avant. Dans l'ionosphère, les crêtes d'une onde radio filent même plus vite que la lumière… sans rien violer du tout. Choisis ton milieu et suis la crête rouge et le triangle bleu.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le paquet est la somme de N sinusoïdes de nombres d'onde voisins (spectre gaussien, dessiné en violet sous la courbe ω(k)) : elles sont en phase au centre du paquet et se détruisent ailleurs. Avec N = 2, on obtient des battements.
- Dans le vide (non dispersif), tout avance à c : la crête rouge reste à la même place dans l'enveloppe et le paquet garde sa forme.
- Dans le plasma ou pour les vagues en eau profonde, la crête rouge traverse l'enveloppe : la vitesse de phase (pente de la corde, en rouge) est plus grande que la vitesse de groupe (pente de la tangente, en bleu).
- Dans un milieu dispersif, chaque composante va à sa propre vitesse : le paquet s'étale et ses longueurs d'onde se trient (en eau profonde, les grandes vagues partent devant).
- Dans le plasma, vφ dépasse c mais vg reste inférieure à c, avec vφ·vg = c² : c'est l'enveloppe qui transporte l'énergie et l'information.
Expériences à faire
- Avec N = 2, mesure la distance entre deux « ventres » de battement : est-elle égale à 2π/Δk ?
- Pour les vagues en eau profonde, compare vg et vφ : le rapport change-t-il avec λ0 ?
- Dans le plasma, rapproche la fréquence de l'onde de fp (grande λ0, grande fp) : que deviennent vφ et vg ?
- Pour obtenir un étalement rapide, vaut-il mieux un paquet court (spectre large) ou un paquet long (spectre étroit) ?
- Choisis « ✏️ Ma relation de dispersion » et tape 0,5k^2 (une particule quantique libre) : l'enveloppe va-t-elle plus vite ou moins vite que les crêtes ? Essaie aussi sqrt(9,81k + 0,000074k^3) avec λ0 = 1 cm (vagues capillaires).
La physique derrière l'animation
- Une onde harmonique ei(kx − ωt) se propage dans un milieu de relation de dispersion ω(k). Ses crêtes avancent à la vitesse de phase vφ = ω/k.
- Un paquet d'ondes ψ = ∫ A(k) ei(kx − ω(k)t) dk, de spectre centré sur k0, a une enveloppe qui avance à la vitesse de groupe vg = (dω/dk)(k0). Le milieu est non dispersif si vφ ne dépend pas de k (et alors vg = vφ).
- Plasma (densité électronique ne) : ω² = ωp² + c²k², avec ωp² = nee²/(mε0) ; vφ = c/√(1 − ωp²/ω²) > c et vg = c√(1 − ωp²/ω²) < c.
- Vagues en eau profonde : ω² = gk (g réglable : essaie Mars), donc vφ = √(g/k) et vg = vφ/2.
- Étalement : la largeur d'un paquet gaussien de largeur spectrale σk est multipliée par √(1 + (ω''σk²t)²), où ω'' = d²ω/dk² ; plus le spectre est large (paquet court), plus il s'étale vite.
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