🎚️ Filtrer un signal : passe-bas, passe-haut, passe-bande
Un filtre, c'est un videur de boîte de nuit pour les fréquences : certaines entrent, d'autres restent dehors. Choisis ton signal, ton filtre et sa fréquence de coupure, puis regarde, raie par raie, qui passe et qui se fait recaler.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque raie du spectre de sortie (en bleu) est la raie d'entrée (en orange) multipliée par le gain |H| du filtre à sa fréquence : le filtre traite chaque sinusoïde séparément, c'est la linéarité.
- Sur la courbe violette, le gain G = 20 log|H| vaut −3 dB à la fréquence de coupure ; au-delà, il chute de 20 dB par décade pour un filtre du 1er ordre et de 40 dB par décade pour un passe-bas ou un passe-haut du 2e ordre.
- Le signal carré contient une infinité d'harmoniques impairs (200 Hz, 600 Hz, 1 kHz…) d'amplitudes 4/(nπ) V. Un passe-bas qui ne garde presque que le fondamental le transforme en sinusoïde.
- Le bruit est fait de fréquences élevées : un passe-bas bien placé le fait presque disparaître, mais il atténue et retarde un peu la sinusoïde utile.
- Avec un 2e ordre de grand facteur de qualité Q, le gain dépasse 1 près de f0 : le filtre peut amplifier une composante, et même faire ressortir un harmonique du carré (essaie f0 = 600 Hz et Q = 10).
Expériences à faire
- Avec le mélange et un passe-bande centré sur 1 kHz, quel facteur de qualité faut-il pour que les raies à 200 Hz et à 5 kHz deviennent 10 fois plus petites que celle à 1 kHz ?
- Avec le carré et un passe-bas du 1er ordre, descends la fréquence de coupure très bas : le taux de distorsion passe-t-il sous 5 % ? Et avec un 2e ordre ?
- Avec le carré et un passe-haut du 1er ordre de coupure bien plus grande que 200 Hz, à quoi ressemble la sortie ? Reconnais-tu la dérivée du carré ?
- Pour débruiter la sinusoïde, faut-il placer fc au-dessous ou au-dessus de 200 Hz ? Que perd-on si on la place trop bas ?
- Choisis ✏️ Mon signal et tape 440 Hz, 880 Hz et 1 320 Hz (un la et ses harmoniques) : quel filtre, et quel réglage, ne laissent passer que la composante à 880 Hz ?
La physique derrière l'animation
- Un filtre linéaire de fonction de transfert H(jω) transforme e(t) = Σ ak sin(ωkt + φk) en s(t) = Σ ak·|H(jωk)|·sin(ωkt + φk + arg H(jωk)), en régime établi.
- 1er ordre RC, avec fc = 1/(2πRC) : passe-bas H = 1/(1 + jf/fc) (sortie sur C) et passe-haut H = (jf/fc)/(1 + jf/fc) (sortie sur R) ; asymptotes de pente ±20 dB par décade.
- 2e ordre RLC série, avec x = f/f0, f0 = 1/(2π√(LC)) et Q = (1/R)·√(L/C) : passe-bas H = 1/(1 − x² + jx/Q) (sortie sur C), passe-haut H = −x²/(1 − x² + jx/Q) (sortie sur L), passe-bande H = 1/(1 + jQ(x − 1/x)) (sortie sur R), de bande passante Δf = f0/Q.
- Gain en décibels : G = 20 log|H|. À la coupure, |H| = 1/√2, soit G = −3 dB. Une décade, c'est une fréquence multipliée par 10.
- Taux de distorsion harmonique : THD = √(s3² + s5² + …)/s1, environ 48 % pour un carré parfait. Dans l'animation, le carré compte 100 harmoniques et le bruit est simulé par 120 sinusoïdes de fréquences aléatoires entre 1,5 et 20 kHz (0,3 V efficaces).
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