🌬️ La puissance d'une éolienne : P = ½ ρ S v³
Une éolienne, c'est un gros moulin qui mange de l'énergie cinétique. Mais attention, le vent est un drôle de carburant : s'il souffle deux fois plus fort, l'éolienne produit huit fois plus ! Et même la meilleure éolienne du monde ne peut pas tout prendre : au-delà de 59 %, l'air s'arrêterait net derrière les pales… et plus rien ne passerait.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La « galette » bleue est l'air qui traverse le rotor en une seconde : son épaisseur vaut v × 1 s et sa masse m = ρ × S × v. Si le vent double, la galette est deux fois plus épaisse ET chaque kilogramme d'air a quatre fois plus d'énergie cinétique : la puissance est multipliée par 8.
- Derrière le rotor, l'air ralentit et le tube de courant s'élargit : l'éolienne lui a pris une partie de son énergie cinétique. S'il s'arrêtait complètement, il bloquerait l'air suivant : c'est pourquoi on ne peut jamais récupérer plus de 16/27 ≈ 59 % (limite de Betz).
- Sur la courbe, la puissance réelle suit la loi en v³ puis se met en palier : l'alternateur a une puissance maximale (puissance nominale). Par vent faible, l'éolienne ne démarre pas ; par tempête, elle s'arrête pour se protéger.
- Doubler la longueur des pales multiplie la surface balayée S = π R² par 4, donc la puissance par 4 : c'est pourquoi les éoliennes sont de plus en plus grandes.
- Sur une année, le vent varie : les vents forts sont rares mais produisent beaucoup (barres bleues décalées vers la droite par rapport aux barres grises).
Expériences à faire
- Mémorise la puissance à 5 m/s, puis passe à 10 m/s : par combien est-elle multipliée ? Et de 10 à 20 m/s ?
- Pourquoi le rapport n'est-il plus 8 quand l'éolienne atteint sa puissance nominale ?
- La petite éolienne de jardin peut-elle alimenter une maison sur un an ? Et l'éolienne en mer, combien de foyers ?
- En montagne, l'air est moins dense (ρ ≈ 1,0 kg/m³) : quelle puissance perd-on ?
- Compare un vent constant de 7 m/s et un vent variable de moyenne 7 m/s : lequel produit le plus ? Pourquoi ?
La physique derrière l'animation
- En une durée Δt, l'air qui traverse la surface balayée S = π R² forme un cylindre de longueur v × Δt et de masse m = ρ × S × v × Δt. Son énergie cinétique est Ec = ½ m v².
- La puissance transportée par le vent est donc Pvent = Ec / Δt = ½ ρ S v³ (en W, avec ρ en kg/m³, S en m², v en m/s) : proportionnelle à v³ et à R².
- L'éolienne récupère P = Cp × ½ ρ S v³. Le coefficient de puissance Cp ne peut pas dépasser 16/27 ≈ 0,593 : c'est la limite de Betz (théorie du disque : Cp = 4a(1 − a)², maximum pour a = 1/3). Les éoliennes modernes atteignent environ 0,45 à 0,50.
- Énergie produite : E = P × Δt (1 an = 8 760 h). Avec un vent variable, E = Σ P(v) × durée(v). Le facteur de charge E / (Pn × 8 760 h) vaut typiquement 20 à 30 % à terre et 35 à 50 % en mer.
- Modèle : vent horizontal et uniforme, distribution de Rayleigh pour le vent sur l'année, rotor qui tourne à 7 fois la vitesse du vent en bout de pale ; la consommation d'un foyer est réglable.
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