🎈 L'atmosphère isotherme et le facteur de Boltzmann
La pesanteur tire les molécules vers le sol, l'agitation thermique les renvoie vers le ciel : qui gagne ? Ni l'une ni l'autre ! Le compromis est une loi exponentielle, le célèbre facteur de Boltzmann. Change de gaz, de température ou de planète, et envoie un ballon-sonde mesurer la pression là où les alpinistes manquent d'air.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque bille décrit un petit arc de parabole (chute libre) puis subit un choc qui lui donne une nouvelle vitesse au hasard : c'est l'agitation thermique.
- Les billes sont nombreuses près du sol et se raréfient en altitude : l'histogramme (moyenne dans le temps) suit la courbe n(z) = n₀·e−z/H.
- À l'altitude z = H, la densité est divisée par e ≈ 2,7 ; à 2H, par e² ≈ 7,4. Pour l'air terrestre, H ≈ 8 km.
- Le dihydrogène, très léger, s'étale dans toute la colonne ; le CO₂ ou le xénon, plus lourds, restent tassés près du sol.
- La pression lue par le ballon-sonde suit la même loi : au sommet de l'Everest, il ne reste qu'environ un tiers de la pression au sol.
Expériences à faire
- Double la température en kelvins : que devient la hauteur caractéristique H ? Et si tu passes seulement de 15 °C à 30 °C ?
- Choisis le mélange H₂ + CO₂ : quelle espèce domine au sol ? Et à 20 km d'altitude ?
- Passe sur Mars (CO₂, 210 K) : la pesanteur est plus faible, l'atmosphère est-elle plus ou moins « haute » que sur Terre ?
- Avec ✏️ Ma planète et ✏️ Mon gaz, invente une exoplanète : g = 20 m/s², méthane (M = 16 g/mol) à 500 K. Son atmosphère est-elle plus « haute » que celle de la Terre ?
- À quelle altitude la pression terrestre est-elle divisée par deux ? Compare avec H·ln 2.
La physique derrière l'animation
- Facteur de Boltzmann : à l'équilibre thermique, la probabilité d'un état d'énergie E est proportionnelle à e−E/(kBT). Ici E = m·g·z est l'énergie potentielle de pesanteur.
- Densité moléculaire de l'atmosphère isotherme : n(z) = n₀·e−m·g·z/(kBT) = n₀·e−z/H.
- Hauteur caractéristique : H = kBT/(m·g) = R·T/(M·g). Pour l'air (M = 29 g/mol) à 288 K : H = 8,314 × 288 / (0,029 × 9,81) ≈ 8,4 km.
- Pression (gaz parfait P = n·kB·T, T uniforme) : P(z) = P₀·e−z/H, ce qui découle aussi de la statique des fluides dP/dz = −ρ·g. À 8 849 m : P ≈ 0,35 P₀.
- Modèle simplifié : atmosphère isotherme (la vraie température baisse d'environ 6,5 °C par km jusqu'à 11 km), colonne de 40 km à sol et plafond réfléchissants, chocs tirés au hasard (thermostat), film accéléré 60 fois.
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